Pourquoi 142857 est un nombre magique qui fascine les mathématiciens depuis des siècles

142857 est un nombre célèbre, du moins dans certains milieux… et un nombre ludique.

Il a commencé à attirer l'attention d'éminents mathématiciens il y a des siècles et a fasciné les spécialistes de la théorie des nombres.

Les ésotéristes l'appréciaient également.

Parmi ses passionnés figuraient des occultistes comme Willis F. Whitehead, pour qui 142857 était "l'expression numérique de la vie, de la lumière et de l'amour".

Mais à un niveau plus prosaïque, il est devenu un classique des mathématiques récréatives.

Sa popularité a été acquise grâce à des personnalités comme Martin Gardner et Shakuntala Devi - la calculatrice mentale indienne surnommée "l'ordinateur humain" - qui ont démontré que chacun pouvait s'amuser à explorer ses particularités.

Ce nombre a même joué un rôle central dans le roman culte "L'Étoile de Ratner" (1976), du célèbre auteur postmoderne américain Don DeLillo, où un groupe de scientifiques tente de déchiffrer le sens d'un message transmis par une étoile lointaine de la Voie lactée : ces six chiffres.

Pour les magiciens, il est particulièrement fascinant car il leur permet d'émerveiller en créant l'illusion de pouvoir prédire l'avenir ou lire dans les pensées, grâce à ses propriétés numériques singulières.

Un tour que chacun peut réaliser consiste à demander à la personne que vous souhaitez impressionner de prendre la calculatrice de son téléphone et d'entrer 10101. Ensuite, sans regarder, demandez-lui de multiplier ce nombre par un nombre de 1 à 6, de le diviser par 7 et de le multiplier par 99. Avec une confiance absolue, elle affirmera que le résultat contient exactement les chiffres 1, 2, 4, 5, 7 et 8. Mais qu'est-ce qui le rend si particulier ?

La raison mathématique de son attrait

Pour commencer à découvrir la propriété étonnante de 142857, il est intéressant de le multiplier.

Ne vous inquiétez pas : nous nous en chargeons ; il vous suffit de regarder le résultat.

142857 x 1 = 142857

142857 x 2 = 285714

142857 x 3 = 428571

142857 x 4 = 571428

142857 x 5 = 714285

142857 x 6 = 857142

Avez-vous remarqué que tous les résultats contiennent les mêmes chiffres, simplement dans un ordre différent ?

Notre nombre est composé de 6 chiffres, et en le multipliant par chacun des nombres de 1 à 6, nous obtenons tous les arrangements possibles de ces six chiffres.

Cette propriété inhabituelle en fait, mathématiquement parlant, un nombre cyclique : un nombre à n chiffres qui, multiplié par n'importe quel entier de 1 à n, provoque une rotation de ses chiffres selon le même ordre circulaire.

Mais revenons aux multiplications, car elles présentent d'autres particularités.

Par exemple, multiplier 142857 par 3 donne 428571. C'est comme si les nombres étaient reliés par un fil circulaire invisible : si l'on coupe ce fil n'importe où, le résultat suit le même motif dans le sens horaire.

Dans ce cas, c'est comme si l'on avait coupé ce fil entre les chiffres 1 et 4, mais ceux qui suivent 4 conservent le même ordre, jusqu'à ce que le cercle soit complet.

Cela se produit systématiquement : lorsqu'on multiplie par 6, le résultat commence par 8 et se poursuit avec les chiffres obtenus à chaque itération : 5, 7, 1, 4 et 2.

Mais que se passe-t-il si l'on franchit le seuil et que l'on multiplie 142 857 par 7 ?

La magie du 7

Si l'on multiplie 142857 par 7, un phénomène étonnant se produit : le résultat est 999999. C'est comme si, après six rotations magiques, le nombre voulait continuer à nous émerveiller.

Puisqu'on parle du chiffre neuf, on peut même jouer avec ses composantes :

Omettons-nous commodément 1+4+2+8+5+7 sous prétexte que sa somme est égale à 27 ? Oui (sauf si l'on respecte la règle de donner des résultats avec le même nombre de chiffres que la somme, par exemple 2+7=9).

Autre fait intéressant : si l'on insère un 9 au milieu du nombre, de sorte qu'il devienne 1429857, lorsqu'on le multiplie par n'importe quel nombre de 1 à 6, le produit conserve sa nature cyclique, avec toujours un 9 au milieu.

Revenons à 142857 × 7 : le résultat n'est pas fortuit. Il est directement lié au fait que 142857 correspond à la période décimale de 1/7, ce qui explique la rotation harmonieuse de ses chiffres et le bon fonctionnement de son cycle.

Si vous divisez 1 par 7, vous obtenez :

1 ÷ 7 = 0,142857142857142857…

Les six chiffres (142857) se répètent indéfiniment. Ce bloc répétitif est ce que l'on appelle en mathématiques la période de la fraction décimale.

Voici maintenant la clé : lorsque vous divisez 2, 3, 4, 5 ou 6 par 7, la séquence 142857 réapparaît toujours, mais à un point différent du cycle.

Et ainsi, le cycle se boucle :

7 ÷ 7 = 1

Le nombre 999 999, obtenu en multipliant 142 857 par 7, n'est pas un hasard : il est la conséquence de ce 1, qui peut aussi s'écrire mathématiquement 0,999999…

Pour une illustration plus concrète, prenons l'exemple d'une année divisée par une semaine.

365 ÷ 7 = 52,142857

Voici notre nombre, précédé de 52, qui représente le nombre de semaines dans une année.

Ce 0,142857 ajouté correspond à un jour.

En effet, chaque année non bissextile, le calendrier avance d'un jour dans la semaine ; par exemple, si une année commence un lundi, la suivante commencera un mardi.

Si vous souhaitez voir la relation entre 7 et 142857 inversée, la voici :

1 ÷ 142857 = 0,000007000007…

Au-delà de 7

Le jeu s'arrête-t-il si l'on dépasse 7 ?

142 857 × 8 = 1 142 856. À première vue, il semble que oui, mais si l'on prend le résultat, que l'on soustrait le premier chiffre et que l'on additionne les chiffres restants, on obtient :

1 + 142 856 = 142 857… le nombre initial, en commençant par le plus petit chiffre.

Cela peut paraître étrange, mais il s'avère que si l'on répète l'opération, le nombre cyclique apparaît de manière répétée, en commençant par ses chiffres dans l'ordre croissant (1, 2, 4, 5, 7, 8).

Et ainsi de suite, jusqu'à atteindre…

142 857 x 14 = 1 999 998

Quelque chose de similaire se produit lorsqu'on multiplie par 21 (2999997 → 2 + 999997 = 999999), 28, 35... Bref, vous aurez déjà repéré le modèle : ce sont tous des multiples de 7.

Des mathématiciens amateurs sont allés plus loin, cherchant à savoir s'il était possible de remonter à l'origine.

Voici un exemple parmi tant d'autres :

142 857 × 142 857 = 20 408 122 449

En prenant 6 chiffres (n) à partir de la droite et en ajoutant le reste :

122 449 + 20 408 = 142 857

Si cela semble trop petit :

142 857 × 6 430 514 712 336 = 918 644 040 260 183 952

Et, en utilisant la même méthode en prenant 6 chiffres à la fois à partir de la droite :

183 952 + 040 260 + 918 644 = 1 142 856.

Comme le nombre comporte plus de 6 chiffres, on obtient 1 + 142 856 = 142 857. En bref, aussi long ou complexe soit le chemin, 142 857 finit toujours par revenir.

Juste eux ?

Bien que 7 et 142857 soient particuliers, ils ne sont pas uniques.

De nombreux autres nombres ont été découverts, mais leur nombre exact reste inconnu.

Ce que l'on sait, c'est que parmi eux, 142857 se distingue non seulement parce qu'il est le premier rencontré, mais aussi parce qu'il est le seul à ne pas commencer par zéro.

Le nombre cyclique suivant est 0588235294117647, qui résulte de la division de 1 par 17.

Ses 16 chiffres se comportent de manière similaire : multipliés par n'importe quel nombre de 1 à 16, ils forment toujours une rotation cyclique de ces mêmes chiffres, mais dans une séquence plus longue.

Et multiplié par 17, il donne 999999999999999999, soit 16 fois 9, tout comme 142857 multiplié par 7 donne 6 fois 9. Remarquez une caractéristique commune : le nombre de chiffres d'un nombre cyclique est toujours inférieur d'une unité à celui du nombre qui le génère. Celui généré par 7 possède 6 chiffres ; celui généré par 17 en possède 16.

Une autre caractéristique fondamentale apparaît lorsqu'on observe les nombres inférieurs à 100 qui génèrent des nombres cycliques : 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 et 97. Ils sont tous premiers.

Bien que tous les nombres premiers ne produisent pas un nombre cyclique, tous les nombres cycliques proviennent d'un nombre premier.

Pour pouvoir créer des nombres cycliques, un nombre premier doit posséder une propriété particulière : sa division par 1 doit donner une séquence de chiffres qui se répète et dont la longueur, comme on le constate, est inférieure d'une unité à sa valeur.

Grâce à cela, les chiffres peuvent défiler parfaitement, sans perte ni répétition prématurée. C'est le secret qui garantit que chaque chiffre a sa place et que le cycle ne soit jamais rompu.

À ce jour, les nombres cycliques n'ont pas d'applications pratiques en ingénierie, en finance ou en sciences appliquées, mais ils se sont révélés utiles en théorie des nombres, en cryptographie théorique et en programmation.

Et, bien sûr, ils ont également servi d'outil pédagogique et ludique, idéal pour explorer les motifs numériques et éveiller la curiosité mathématique.

* Parmi les sources consultées figurent le chapitre 10 de « Mathematical Circus » de Martin Gardner et le site web Math1089.